Непосредственное интегрирование - это метод вычисления определенных и неопределенных интегралов. Он используется, когда подынтегральное выражение является табличной элементарной функцией или функцией, которая может быть сведена к таковой путем элементарных преобразований. При этом интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Интегрирование по частям - это метод вычисления определенных и неопределенных интегралов. Он используется, когда подынтегральное выражение является произведением двух функций и одна из них легко интегрируется. Формула интегрирования по частям выглядит так:
∫u(x)*v'(x)dx = u(x)*v(x) - ∫v(x)*u'(x)dx
Например, рассмотрим интеграл ∫x*cos(x)dx. Пусть u(x) = x и v'(x) = cos(x) . Тогда u'(x) = 1 и v(x) = sin(x) . Подставляя эти значения в формулу интегрирования по частям, получаем:
∫x*cos(x)dx = x*sin(x) - ∫sin(x)dx
= x*sin(x) + cos(x) + C
где C - константа интегрирования. Таким образом, ответ на наш пример: ∫x*cos(x)dx = x*sin(x) + cos(x) + C.
Интегрирование заменой переменной - это метод вычисления определенных и неопределенных интегралов. Он используется, когда подынтегральное выражение можно представить в виде произведения функции и ее производной. В этом случае можно ввести новую переменную u = f(x), и интеграл примет вид:
∫f'(x)*g(f(x))dx = ∫g(u)du
где du = f'(x)dx. После замены переменной интеграл может быть легко вычислен.
Например, рассмотрим интеграл ∫2x*e^(x^2)dx. Здесь f(x) = x^2, так что f'(x) = 2x. Введем новую переменную u = x^2, тогда du = 2xdx. Интеграл примет вид:
∫2x*e^(x^2)dx = ∫e^udu
= e^u + C
= e^(x^2) + C
где C - константа интегрирования. Таким образом, ответ на наш пример: ∫2x*e^(x^2)dx = e^(x^2) + C.
Интегрирование рациональных функций - это метод вычисления определенных и неопределенных интегралов рациональных функций. Рациональная функция - это функция вида f(x) = P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены.
Один из способов интегрирования рациональных функций - это разложение на простейшие дроби. Этот метод заключается в том, чтобы представить рациональную функцию в виде суммы простейших дробей, которые легко интегрируются. Затем интеграл от исходной функции вычисляется как сумма интегралов от простейших дробей.
Например, рассмотрим интеграл ∫(x^2+1)/(x^3-x)dx. Для начала разложим знаменатель на множители: x^3-x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1). Затем представим рациональную функцию в виде суммы простейших дробей:
(x^2+1)/(x^3-x) = A/x + B/(x-1) + C/(x+1)
где A, B и C - константы, которые можно найти путем сравнения коэффициентов при соответствующих степенях x. В результате получаем:
(x^2+1)/(x^3-x) = -1/x - 1/(x-1) + 1/(x+1)
Теперь можем вычислить интеграл:
∫(x^2+1)/(x^3-x)dx = ∫(-1/x - 1/(x-1) + 1/(x+1))dx
= -ln|x| - ln|x-1| + ln|x+1| + C
где C - константа интегрирования. Таким образом, ответ на наш пример: ∫(x^2+1)/(x^3-x)dx = -ln|x| - ln|x-1| + ln|x+1| + C.
Интегрирование тригонометрических функций - это метод вычисления определенных и неопределенных интегралов тригонометрических функций. Один из способов интегрирования тригонометрических функций - это использование тригонометрических тождеств для преобразования подынтегрального выражения в более простую форму.
Например, рассмотрим интеграл ∫sin^2(x)dx. Используя тождество sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2, можем преобразовать подынтегральное выражение:
∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx
= x/2 - sin(2x)/4 + C
где C - константа интегрирования. Таким образом, ответ на наш пример: ∫sin^2(x)dx = x/2 - sin(2x)/4 + C.